江苏省常州市武进区湖塘桥第二实验小学   叶仁亚

教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”

教材分析：

本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。教材依次呈现多边形中有一颗钉子、两颗钉子的图形，引导学生通过数一数、算一算、小组合作讨论等方式发现多边形的面积与边上钉子数之间的关系，在此基础上，探索、推导多边形内有3颗、4颗……钉子的情况，最后得出一般结论。

新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。基于这样的价值判断，我们发现仅用一课时要让学生全员、独立经历探索的过程不太可能，只能是教师带着蜻蜓点水，不能完整经历知识的生长和发展的过程。因此，我想将它拆分成两课时，第一课时为引出问题，初步探究，形成方法。共安排三个板块，一是理解格点与面积的含义，灵活运用多种方法计算多边形面积，二是初步经历探索过程，凸显前提条件的价值，三是独立经历探索过程，类比推导公式。第二课时为课后探索验证。

学生分析

学生经历过在数认识、数运算等领域的规律探索课的一般过程，知道从简单问题入手进行研究，经历发现规律——验证规律——得出结论这一过程，从而运用结论解决实际问题。在图形领域经历过周长与面积关系的探究，但只是了解了两者之间的变化趋势，并未尝试推导公式得出结论。

学生已经学过运用公式计算常见平面图形的面积，知道可以用割补的方法将不规则图形转化成若干个规则图形之和或之差求多边形的面积，但这样的问题情境经历得不多，学生之间的差异也比较大。

学生学过用字母表示数和数量关系，但本节课涉及到三个变量之间的关系，学生困难在于无法直接将三个变量联系起来。基于学生的认知特点，课堂上安排先研究两量之间的关系，在验证的矛盾冲突中凸显第三个变量。另外学生对于面积和钉子数之间倍数关系很容易发现，但到形内两枚钉子时，从表面很难得出两量之间的关系，需及时的引导，与形内只有一枚钉子的情况类比发现。

教学目标：

1、 使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，积累丰富的观察、比较、推理、综合和抽象、概括等基本数学经验，发展学生的合情推理能力。

3、 使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学过程：

一、问题引入，揭示课题

1.  课前提出问题。

你知道我们今天要探讨什么问题吗？——“钉子板上的多边形”

这节课，老师为每个同学都准备一个钉子板和几根橡皮筋。你能用橡皮筋在钉子板上快速围一个多边形。

（请同学们动手围一围。）

与同桌比比谁围的面积大一些。

你们觉得多边形的面积大小与钉子板上什么有关系呢？

（钉子板上钉子的数量多少有关?）

2.    引入课题。

谈话：通过钉子数和面积，大家感受面积大小与围多边形用的钉子数有关。感觉围的多边形的面积越大所用的钉子会越多,这只是一种非常好的感觉，但学习数学不能只靠感觉，今天我们就要通过学习活动，来探讨钉子板上多边形的面积与钉子数有怎样的关系呢？（板书课题）首先咱们从简单的图形开始研究。

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知。

1.    出示下图，引导学生观察。

看清这4幅图的吧！它们的面积分别是多少？请同桌快速互相交流一下结果。待会我们再一起交流。

请同学汇报并具体说说结果是怎样得到的？（相机板书算、数）

现在面积知道了，我们前面说了，多边形的面积跟钉子板上的钉子有关，接下来请同学们数一数什么？（会数吗？）一起数，课件演示。

2.    学生交流，板书完成下面表格。

3.    观察数据，比较发现。

将数据整理在表格中，好像有发现了是吧！

同桌先说一说。请学生汇报他个人的发现。有横着看，有竖着看。（如果你听懂他或她说的话，觉得他说的对，请将掌声送给他）

交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）

说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：

S=n÷2

4.    观察比较，反思质疑。

 引导： 是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？请看你刚才自己围的多边形并数一数，看看是不是也有这样的关系。

验证成立的请举手。验证不成立的请举手。派代表上来说明。具体要说面积是多少，边上的钉子数有几个。

老师也来举几个例子，可以吗？

唉，看看这些图形，再看看我们的发现，你们有什么想说吗？

（追问：现在多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？）

提问：怎么回事呢？咱们回过头看一下这4幅图，你又有什么想说的？（上面4个图形中间都只有一个钉子。）

真棒，当规律被否定之后，我们回头看图的时候，我们就要从这4个不同的多边形中去找它们的相同点。它们的共同特点是：图形内都只有一个钉子。

那也就是说要使这个发现成立的话，它必须要有一个前提，如果用a表示多边形内部的钉子数，那当a=几时，规律成立。当Ａ＝1时，S=n÷2。（在上面得出的关系式前补充板书：a=1）现在.能用文字语言来表达一下吗？ (条理清晰，声音响亮)谁也能这样说说。

（二）继续研究，拓展认识。

1.    提出问题，引发思考。

引导：刚才研究a=1,如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与边上的钉子数又有什么关系呢？我们继续探究。出示课件

2.    小组合作，探究规律。

引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。

出示活动要求：

（1）    每人围一内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；

（2）    每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；

（3）    观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？

学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。

3.    交流引导，发现规律。

出示表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。

引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2有点什么关系吗？同桌互相讨论，比比看看有什么发现。

提问：通过数据比较，你有什么发现？

小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2  S=n÷2+1）

追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。

（三）引导猜想，概括规律。

1.    引发学生猜想。

提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？你的猜想先别告诉别人，大家在小组中再研究一下，等会有发现了再全班交流。

2.   经历过程，验证猜想。

让学生动手完成研究单，经历过程。

交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。

追问：现在我们又有什么发现？

3.    拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：a=1  S=n÷2

a=2  S=n÷2+1

a=3  S=n÷2+2

引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？

当A＝4时，当A＝5时，当A＝0时，……

这些都是猜想，还有待同学是验证。

今天，我们研究了多边形的面积不仅与钉子板边上钉子数有关、而且还与多边形内的钉子数有关，能不能将这些关系用一个式子表示出来吗？当A＝M时，不要说了来，请大家有更多的思考时间。在些，老师想介绍一本书与一个人。

4.      适当介绍，拓展视野。

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

三、回顾过程，交流体会。

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？

追问：还有什么疑问吗？

小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。